Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： (a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1，e)，其中e為橢圓的離心率．F1、F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，M為橢圓短軸端點(diǎn)且△MF1F2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(1，m)在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去可得根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及三角形面積公式可得，換元后，利用導(dǎo)數(shù)求出三角形面積最大時(shí)的 的取值即可得到直線方程.

試題解析：　(1)∵橢圓＋＝1經(jīng)過(1，e)，

∴＋＝1，

又e＝，∴＋＝1，解之得b2＝1，

∴橢圓方程為＋y2＝1．

又△MF1F2為等腰直角三角形，

∴b＝c＝1，a＝，

故橢圓方程為＋y2＝1．

(2)由(1)可知橢圓的方程為＋y2＝1，

故P(1，)，

由題意，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)顯然不合題意．

設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l的方程y＝kx＋t(t≠0)交橢圓C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，

Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，

∴x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，

x1x2＝，

直線OP方程為y＝x且OP平分線段AB，

∴＝×，解得k＝－．

∴|AB|＝·

＝，

又∵點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝h，

∴S△PAB＝|AB|h＝．

設(shè)f(t)＝(－t)2(4－2t2)

＝－2t4＋4t3－8t＋8，

由直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)可得－<t<．

求導(dǎo)可得t＝－時(shí)f(t)在(－，)上有最大值，此時(shí)S△PAB取得最大值，

此時(shí)直線l的方程y＝－x－．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.