Question

長度為L的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長是多少？

Answer 1

分析：要滿足條件，L一定是8，12和18的倍數(shù)，所以先求出三個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，和兩兩的公倍數(shù)，從而得出重疊的段數(shù)，然后在根據(jù)容斥原理解答即可．

解答：解：假設(shè)L=[8，12，18]=72的K倍，即L=72K．那么：
紅線將木棍等分8等份（9個(gè)分點(diǎn)），每份長度9K；
藍(lán)線將木棍等分12等份（13個(gè)分點(diǎn)），每份長度6K；
黑線將木棍等分18等份（19個(gè)分點(diǎn)），每份長度4K；
又知：[9K，6K]=18K，重疊4段；[6K，4K]=12K，重疊6段；[9K，4K]=36K，重疊2段；
[9K，6K，4K]=36K，重疊2段．
由容斥原理二得：一共分割的段數(shù)為：（8+12+18）-4-6-2+2=28（段）；
或總點(diǎn)數(shù)為：（9+13+19）-5-7-3+3=29（分點(diǎn)），所以共有28段．
那么，最短段為紅線與黑線的距離：L÷72=

L

72

．

點(diǎn)評：本題考查了重疊問題和容斥原理的總和應(yīng)用；弄清重疊處，是解決這道題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn)．