Question

從1～30這30個自然數(shù)中，每次取兩個不同的數(shù)，使它們的和是4的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：首先把這30個數(shù)按被4除的余數(shù)分類：被4整除、被4除余1、被4除余2、被4除余3；再進一步分析探討每一組的數(shù)的余數(shù)和是否為4的倍數(shù)討論；得出結(jié)論．

解答： （1）首先把這30個數(shù)分類：1、被4整除：4，8，12…28 （7個）；2、被4除余1：1，5，9，13…29（8個）；3、被4除余2：2，6，10，14…30（8個）；4、被4除余3：3，7，11，15…27（7個）；

（2）進一步分析探討：
第1組的數(shù)，必須和第1組的數(shù)，才能使和為4的倍數(shù)6+5+4+3+2+1=21（種）；
第2組的數(shù)，必須和第4組的數(shù)，才能使和為4的倍數(shù)7×8=56（種）；
第3組的數(shù)，必須和第3組的數(shù)，才能使和為4個倍數(shù)7+6+5+4+3+2+1=28（種）；
第4組的數(shù)，剛才已經(jīng)討論過了，不必再討論；
所以一共有21+56+28=105（種）．
故答案為：105．

點評：此題主要利用有余數(shù)的除法特征以及分步探討的方法解決問題．