Question

如圖，在矩形ABCD中，已知對角線長為2，且∠1=∠2=∠3=∠4．求四邊形EFGH的周長．

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì)（份數(shù)、比例）

專題：平面圖形的認識與計算

分析：由∠1=∠2=∠3=∠4可得出∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，從而可得出∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，這樣即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四邊形，連接AC、BD，則有：

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，從而可得

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，即GF+HG=AC=2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出四邊形EFGH的周長．

解答： 解：因為∠1=∠2=∠3=∠4，
所以∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四邊形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四邊形，
所以△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
所以

BE

CE

=

BH

CF

=

DF

FC

，
所以EF∥BD，
同理HG∥BD，
所以

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，
所以

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，又因為

GF

AC

+

HG

BD

=

GF

AC

+

HG

AC

，AC=BD，
即GF+HG=AC=2，
所以四邊形EFGH的周長=2（GF+HG）=4．
答：四邊形EFGH的周長是4．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，題目看著比較簡單，但不容易想出求解思路，解答本題的關(guān)鍵是得出比例式

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，進而解決問題．