Question

4．在1，2，3，…，7，8的任意排列中，使得相鄰兩數(shù)互質(zhì)的排列方式共有1728種．

Answer 1

分析 這8個(gè)數(shù)之間如果有公因數(shù)，那么無非是2或3．
8個(gè)數(shù)中的4個(gè)偶數(shù)一定不能相鄰，對(duì)于這類多個(gè)元素不相鄰的排列問題，考慮使用“插入法”，即首先忽略偶數(shù)的存在，對(duì)奇數(shù)進(jìn)行排列，然后將偶數(shù)插入，但在偶數(shù)插入時(shí)，還要考慮3和6相鄰的情況．
奇數(shù)的排列一共有4！=24種，對(duì)任意一種排列4個(gè)數(shù)形成5個(gè)空位，將6插入，可以有符合條件的3個(gè)位置可以插，再在剩下的四個(gè)位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24種，一共有24×3×24=1728種．

解答 解：這8個(gè)數(shù)之間如果有公因數(shù)，那么無非是2或3．
8個(gè)數(shù)中的4個(gè)偶數(shù)一定不能相鄰，考慮使用“插入法”，
即首先忽略偶數(shù)的存在，對(duì)奇數(shù)進(jìn)行排列，然后將偶數(shù)插入，但在偶數(shù)插入時(shí)，還要考慮3和6相鄰的情況．
奇數(shù)的排列一共有：4！=24（種），
對(duì)任意一種排列4個(gè)數(shù)形成5個(gè)空位，將6插入，可以有符合條件的3個(gè)位置可以插，再在剩下的四個(gè)位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24（種），
綜上所述，一共有：24×3×24=1728（種）．
答：使得相鄰兩數(shù)互質(zhì)的排列方式共有 1728種．
故答案為：1728．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是確定用“插入法”，分情況討論．