Question

用3個(gè)三角形最多可以把平面分成幾部分？10個(gè)三角形呢？

Answer 1

平面本身是1部分．一個(gè)三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分，
兩個(gè)三角形不相交時(shí)將平面分成3部分，相交時(shí)，交點(diǎn)越多分成的部分越多（見下圖）；

由上圖看出，新增加的部分?jǐn)?shù)與增加的交點(diǎn)數(shù)相同，所以，再畫第3個(gè)三角形時(shí)，應(yīng)使每條邊的交點(diǎn)盡量多；
對于每個(gè)三角形，因?yàn)?條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個(gè)三角形的每條邊最多與前面2個(gè)三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生3×（2×2）=12（個(gè)）交點(diǎn)，即增加12部分；
因此，3個(gè)三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；
由上面的分析，當(dāng)畫第n（n≥2）個(gè)三角形時(shí)，每條邊最多與前面已畫的（n-1）個(gè)三角形的各兩條邊相交，
共可產(chǎn)生交點(diǎn)：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（個(gè)），能新增加6（n-1）部分，
因?yàn)?個(gè)三角形時(shí)有2部分，所以n個(gè)三角形最多將平面分成的部分?jǐn)?shù)是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×

n(n-1)

2

=2+3n（n-1），
當(dāng)n=10時(shí)，可分成：2+3×10×（10-1）=272（部分）．
答：3個(gè)三角形最多可以把平面分成20部分，10個(gè)三角形最多可以把平面分成272部分．