Question

如圖，甲、乙、丙、丁四個(gè)圖都稱作平面圖，觀察圖甲和表中對(duì)應(yīng)數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并作答．

（1）數(shù)一數(shù)每個(gè)圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)，多少條邊，這些邊圍出多少區(qū)域，并將結(jié)果填入下表．

圖	甲	乙	丙	丁
頂點(diǎn)數(shù)m	4	7
邊數(shù)n	6	9
區(qū)域數(shù)f	3

（2）根據(jù)表中數(shù)值，寫出平面圖的頂點(diǎn)數(shù)m，邊數(shù)n、區(qū)域數(shù)f之間的一種關(guān)系：

m+f=n+1

（3）如果一個(gè)平面圖有20個(gè)頂點(diǎn)和11個(gè)區(qū)域，那么利用（2）題中得出的關(guān)系，則這個(gè)平面圖有

30

條邊．

Answer 1

分析：（1）按照自己熟悉的規(guī)律去數(shù)頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)以及區(qū)域數(shù)；
（2）4+3-6=1，7+3-9=1，8+5-12=1，10+6-15=1，所以可得到一般規(guī)律：頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1；
（3）邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1．

解答：解：（1）結(jié)和圖形我們可以得出：
圖①有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊、這些邊圍成3個(gè)區(qū)域；
圖②有7個(gè)頂點(diǎn)、9條邊、這些邊圍成3個(gè)區(qū)域；
圖③有8個(gè)頂點(diǎn)、12條邊、這些邊圍成5個(gè)區(qū)域；
圖④有10個(gè)頂點(diǎn)、15條邊、這些邊圍成6區(qū)域．

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，頂點(diǎn)用m表示，邊數(shù)用n表
示，區(qū)域用f表示，他們的關(guān)系可表示為：m+f=n+1；

（3）把m=20，f=11代入上式得：n=m+f-1=20+11-1=30．
故如果平面圖形有20個(gè)頂點(diǎn)和11個(gè)區(qū)域，那么這個(gè)平面圖形的邊數(shù)為30．
故答案為：m+f=n+1；30．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的觀察能力，分析以及合理推理能力．注意應(yīng)按平面圖來(lái)進(jìn)行解答．