Question

有17個(gè)科學(xué)家，其中每一個(gè)人與其他所有人通信，他們的通信僅討論三個(gè)題目，且每?jī)蓚�(gè)科學(xué)家之間只討論一個(gè)題目．求證：至少有三個(gè)科學(xué)家相互之間討論同一問題．

Answer 1

證明：從17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，比如點(diǎn)A處作引16條線段，共三種顏色，由抽屜原理至少有6條線段同色，設(shè)為AB、AC、AD、AE、AF、AG且均為紅色．
若B、C、D、E、F、G這六個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)連線為紅線，設(shè)這兩點(diǎn)為B、C，則△ABC是一個(gè)三邊同為紅色的三角形．
若B、C、D、E、F、G這六點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線不是紅色，則考慮5條線段BC、BD、BE、BF、BG的顏色只能是兩種，必有3條線段同色，設(shè)為BC、BD、BE均為黃色，再研究△CDE的三邊的顏色，要么同為藍(lán)色，則△CDE是一個(gè)三邊同色的三角形，要么至少有一邊為黃色，設(shè)這邊為CD，則△CDE是一個(gè)三邊同為黃色的三角形，即至少有三個(gè)科學(xué)家關(guān)于同一個(gè)題目互相通信．
分析：在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問題時(shí)，常常利用染色造抽屜解題．17位科學(xué)家看作17個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌豢茖W(xué)家互相通信看作是兩點(diǎn)的連線段，關(guān)于三個(gè)問題通信可看作是用三種顏色染成的線段，如用紅色表示關(guān)于問題甲的通信，藍(lán)色表示問題乙通信，黃色表示問題丙通信．這樣等價(jià)于：有17個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線，每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，把每條線段染成紅色、藍(lán)色和黃色，且每條線段只染一種顏色，證明一定存在一個(gè)三角形三邊同色的三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，解析在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問題時(shí)，常常利用染色造抽屜解題，本題難度較大．