Question

一個(gè)自然數(shù)，它與99的乘積的各位數(shù)字都是偶數(shù)，求滿足要求的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：整除性問題

分析：設(shè)自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，然后根據(jù)99的整除性質(zhì)，可知99n能同時(shí)被9和11整除，被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差，能被11整除（或?yàn)?）．再根據(jù)各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍．經(jīng)過試算，可知兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)只軍無解，六位數(shù)時(shí)，228888為最小的符合條件的數(shù)，進(jìn)一步解決問題．

解答： 解：設(shè)自然數(shù)為n，與99的乘積為99n，
99=9×11，99n能同時(shí)被9和11整除，
被9整除：各位數(shù)字和，是9的倍數(shù)；
被11整除：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差，能被11整除（或?yàn)?）．
各位數(shù)字都是偶數(shù)，且數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么數(shù)字和就是18的整數(shù)倍．
再看怎么滿足能被11整除，
數(shù)字和為18，不能滿足；
數(shù)字和為36，18-18=0，滿足，
經(jīng)試乘積最小為228888．
所求自然數(shù)最小為：228888÷99=2312．
答：滿足要求的最小值2312．

點(diǎn)評(píng)：此題根據(jù)99的整除性質(zhì)，推出成乘積最小是228888，是解答此題的關(guān)鍵．