Question

如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于N，過點C作CM⊥CE，交FN于點M，
（1）求證：△ADE≌△CDE；
（2）求證：∠N=∠2；FM=MC=MN；
（3）試問當∠1等于多少度時，△ECN為等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）正方形是軸對稱圖形，本題把直線DB看作對稱軸，用軸對稱方法可證：△ADE≌△CDE；
（2）利用（1）及平行線可推出∠N=∠1，利用互余關(guān)系推出∠N=∠MCN，∠MFC=∠MCF，可得MC=MF=MN．
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠1=30°．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
且BD為對角線，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB．
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．

（2）證明：由△ADE≌△CDE得∠1=∠2，
由AD∥BC得∠1=∠N，
∴∠2=∠N．
∵∠MCN+∠MCF=∠MCF+∠2=90°，∠2=∠N，
∴∠N=∠MCN，
同理可得出：∠MFC=∠MCF，
∴MC=MF=MN．

（3）解：當∠1=30°．
理由：∵CE=CN，
∴∠CEN=∠N=∠1=∠2=x，
在△CEN中，
由內(nèi)角和定理得：x+x+90°+x=180°，
x=30°．
點評：本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識進行有關(guān)計算的能力，解答這類題時一般采取利用圖形的全等的知識將分散的圖形集中在一起，再結(jié)合圖形的特征選擇相應(yīng)的公式求解．