Question

（2013•海滄區(qū)一模）如圖，已知雙曲線y=

k-3

x

（k為常數(shù)）與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A、B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)M（點(diǎn)M在A的上方）是雙曲線y=

k-3

x

上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM、BM分別與y軸交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）若直線AB的解析式為y=

1

6

x，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，1），
①求a、k的值；
②當(dāng)AM=2MP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，試問(wèn)m-n的值是否為定值？若是求出它的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①由A（a，1）在直線y=

1

6

x上，得

1

6

a=1，解得a=6，然后根據(jù)A（6，1）在雙曲線y=

k-3

x

上解得k=9；
②過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸于F得到MF∥AE后即可證明△PMF∽△PAE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相等得到MF=2，從而得到點(diǎn)M（2，3），利用待定系數(shù)法求得直線AM的解析式即可；
（2）如圖，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為b，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-b；過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AE于D，根據(jù)MD∥y軸得到△AMD∽△APE根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相等用b、t表示出m和n，從而求得m-n的值．

解答：解：（1）①∵A（α，1）在直線 y=

1

6

x上，
∴

1

6

a=1，
解得a=6．
∵A（6，1）在雙曲線 y=

k-3

x

上，
∴

k-3

x

=1，
解得k=9，
∴a，k 的值分別是6，9；

②如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥軸于E，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥軸于F，
則MF∥AE，
∴△PMF∽△PAE，
∴

MF

AE

=

PM

PA

，即

MF

6

=

1

3

，
∴MF=2，
∴點(diǎn)M（2，3）．
∵A（6，1）、M（2，3），
∴直線AM的解析式為 y=-

1

2

x+4．
∴點(diǎn)P（0，4）；

（2）答m=n為定值-2．如圖2，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為b，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-b；
過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y 軸于C，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AE于D．
∵M(jìn)D∥y 軸，
∴△AMD∽△APE，
∴

AM

AP

=

AD

AE

，即

m

m+1

=

b-t

b

，得m=

b-t

t

①
∵M(jìn)F∥BC，
∴△MFQ∽△BCQ，
∴

FM

BC

=

MQ

BQ

，即

t

b

=

1

n-1

，得n=

b+t

t

 ②
∴由①-②得，m-n=

b-t

t

-

b+t

t

=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．