Question

【題目】已知：點P為線段AB上的動點（與A、B兩點不重合），在同一平面內，把線段AP、BP分別折成等邊△CDP和△EFP，且D、P、F三點共線，如圖所示．

（1）若DF=2，求AB的長；

（2）若AB=18時，等邊△CDP和△EFP的面積之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此時P點位置，若沒有最大值，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB= 6；（2）沒有最大值，理由見解析.

【解析】（1）由等邊三角形的性質容易得出結果；

（2）設CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF=6﹣x，求出等邊△CDP和△EFP的面積之和S=x2﹣3x+9＞0，得出S有最小值，沒有最大值．

（1）∵△CDP和△EFP是等邊三角形，∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF．

∵DF=PD+PF=2，∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6；

（2）沒有最大值，理由如下：

設CD=PC=PD=x，則EF=EP=PF=（18﹣3x）=6﹣x，作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，則DM=PD=x，PN=PF=（6﹣x），∴CM=DM=x，EN=（6﹣x），

∴△CDP的面積=PDCM=x2，△EFP的面積=（6﹣x）2，

∴等邊△CDP和△EFP的面積之和S=x2+（6﹣x）2=x2﹣3x+9．

∵＞0，∴S有最小值，沒有最大值．