Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（-1，2）和點N（1，-2），交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：
①b=-2；
②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸；
③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；
④若a=1，則OA•OB=OC²．
以上說法正確的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：①二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（-1，2）和點N（1，-2），因而將M、N兩點坐標代入即可消去a、c解得b值．
②根據(jù)圖象的特點及與直線MN比較，可知當-1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在直線MN的下方．
③同②理．
④當y=0時利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得到OA•OB的值，當x=0時，可得到OC的值．通過c建立等量關(guān)系求證．
解答：解：①∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（-1，2）和點N（1，-2），
∴，
解得b=-2．
故該選項正確．

②方法一：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c，a＞0
∴該二次函數(shù)圖象開口向上
∵點M（-1，2）和點N（1，-2），
∴直線MN的解析式為y-2=，
即y=-2x，
根據(jù)拋物線的圖象的特點必然是當-1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在y=-2x的下方，
∴該二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸；
方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，
所以二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸．
故該選項正確．

③根據(jù)拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上．
故該選項錯誤．

④當a=1時，c=-1，∴該拋物線的解析式為y=x²-2x-1
當y=0時，0=x²-2x+c，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得 x₁•x₂=c，
即OA•OB=|c|，
當x=0時，y=c，即OC=|c|=1=OC²，
∴若a=1，則OA•OB=OC²，
故該選項正確．

總上所述①②④正確．
故選C．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的圖象性質(zhì)及特點、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線解析式的確定．