Question

如圖9，在直角梯形中，∥,⊥,,,，

點沿線段從點向點運動，設．

（1）求的長；

（2）點在運動過程中，是否存在以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）設與的外接圓的面積分別為、，若，求的最小值．

Answer 1

解：(1)過點作于.在Rt中，，.

∴,

∴.

(2)存在.若以、、為頂點的三角形與以、、為頂點的三角形相似，

則必有一個角是直角.

①當時，在Rt中，，，

∴.

又由(1)知，在Rt中 ,，

∴，∴.

∴∽.

②當時，在Rt中，，，

∴，，∴.

則且，此時與不相似.

∴存在與相似，此時.（3）如圖，因為Rt外接圓的直徑為斜邊，

∴.

①當時，作的垂直平分線交于，交于；作的垂

直平分線交于，交于，連結.則為外接圓的半徑.

在Rt中，，，∴,

又，∴.

在Rt中，∴.

在Rt中，，

∴.

②當時，也成立. 

∴.

∴當時,取得最小值.