Question

某市要在一塊矩形的空地上建造一個(gè)四邊形花園，要求花園所占面積是矩形面積的一半，并且四邊形花園的四個(gè)頂點(diǎn)作為出入口，要求分別在矩形的四條邊上，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種方案：
方案1：如圖1所示，兩個(gè)出入口E、F已確定，請(qǐng)?jiān)趫D1上畫(huà)出符合要求的四邊形花園，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法；
方案2：如圖2所示，一個(gè)出入口M已確定，請(qǐng)?jiān)趫D2上畫(huà)出符合條件的平行四邊形花園，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法．

Answer 1

解：（1）如圖，作法：①在A(yíng)D上截取AG=BE，連接EG，
②在A(yíng)B上任取一點(diǎn)H，
③連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH，
所以四邊形EFGH就是所要求作的四邊形．
理由：因?yàn)锳BCD是矩形，EG把矩形ABCD分成矩形ABEG與矩形ECDG，
則S_△EFG=S_矩形ECDG，S_△EGH=S_矩形ABEG，
∴S_{四邊形EFGH}=S_{四邊形ABCD}；

（2）畫(huà)法：①在A(yíng)D上截取DP=BM，連接MP，
②作MP的垂直平分線(xiàn)，得到MP的中點(diǎn)O，
③作∠PON=∠PMC交CD于點(diǎn)N，反向延長(zhǎng)ON，交AB于點(diǎn)Q，連接MN、MP、PQ、QM，得到四邊形MNPQ，
所以四邊形MNPQ就是所要求作的平行四邊形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵點(diǎn)O是MP的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q、點(diǎn)N分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴OQ=（BM+AP）=AD，NO=（MC+DP）=BC，
∴OQ=NO，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形），
因?yàn)锳BCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND與矩形BCNQ，
則S_△PQM=S_矩形AQND，S_△EQMN=S_矩形BCNQ，
∴S_{四邊形MNPQ}=S_{四邊形ABCD}．
分析：（1）在A(yíng)D上截取AG=BE，連接EG，則EG把矩形ABCD分成兩個(gè)矩形，在A(yíng)B上任取一點(diǎn)H，順次連接E、F、G、H四點(diǎn)即可得到符合要求的四邊形；
（2）在A(yíng)D上截取DP=BM，連接MP，再作出MP的中點(diǎn)O，過(guò)O通過(guò)作角相等作ON∥BC交CD于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)Q，則順次連接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，主要利用矩形的面積等于以矩形的一邊為底邊，另一頂點(diǎn)在對(duì)邊上的三角形的面積等于矩形的面積的一半的性質(zhì)，靈活性較強(qiáng)，難度不大．