Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F分別是AD，CD上兩點，BE交AF于點G，且DE=CF．

（1）寫出BE與AF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，若AB=2，點E為AD的中點，連接GD，試證明GD是∠EGF的角平分線，并求出GD的長．

Answer 1

【答案】（1）BE=AF，BE⊥AF，理由見解析；（2）證明見解析，GD=．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△BAE≌△ADF（SAS），得到BE=AF，∠ABE=∠DAF，進而得出∠BGA=90°即可；

（2）先利用勾股定理求出AF，進而利用面積求出DN，判斷出AG=DN，在判斷出DM=AG，即可得出GD是∠MGN的平分線，進而判斷△DGN是等腰直角三角形即可得出結(jié)論．

解：（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：

四邊形ABCD是正方形，

∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，

∵DE=CF，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAE+∠AEB=90°，

∴∠BGA=90°，

∴BE⊥AF；

（2）如圖2，過點D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延長線于M，

在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，AF=，

∵S△ADF=AD×FD=AD×DN，

∴DN=，

∵△BAE≌△ADF，

∴S△BAE=S△ADF，

∵BE=AF，

∴AG=DN，

又∵∠AGE=∠DME，∠AEG=∠DEM

∴△AEG≌△DEM（AAS），

∴AG=DM，

∴DN=DM，

∵DM⊥BE，DN⊥AF，

∴GD平分∠MGN，

∴∠DGN=∠MGN=45°，

∴△DGN是等腰直角三角形，

∴GD=DN=．