Question

【題目】如圖，已知：二次函數y=x2+bx+c 的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（-3，0），與 y 軸交于點 C（0，-3）在拋物線上．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上有一動點 P，求出當 PB+PC 最小時點 P的坐標；

（3）若拋物線上有一動點Q，使△ABQ的面積為6，求Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x２+2x-3；（2）點 P 的坐標為（-1，-2）；（3）點 Q 的坐標為（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．

【解析】

（1）根據題目中點 A 和點 C 的坐標可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據二次函數圖象具有對稱性和兩點之間線段最短可以求得點P 的坐標；

（3）根據（1）中求得的函數解析式可以求得點 B 的坐標，然后根據△ABQ 的面積為 6，可以求得點Q 的縱坐標的絕對值，然后根據點Q 在拋物線上，即可求得點 Q 的坐標．

（1）∵二次函數y=x2+bx+c的圖象過點A（-3，0）和點C（0，-3），

∴，

得，

即拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

（2）∵拋物線解析式為y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如圖：

∴該拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∵點P為拋物線的對稱軸上的一動點，點A和點B關于直線x=-1對稱，

∴點P到點A的距離等于點P到點B的距離，

∵兩點之間線段最短，

∴連接點A和點C與直線x=-1的交點就是使得PB+PC最小時的點P，

設過點A（-3，0）和點C（0，-3）的直線解析式為y=kx+m，

，得，

即直線AC的函數解析式為y=-x-3，

當x=-1時，y=-（-1）-3=-2，

即點P的坐標為（-1，-2）；

（3）∵拋物線解析式為y=x2+2x-3，

當y=0時，x=-3或x=1，

∴點B的坐標為（1，0），

∵點A的坐標為（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，

∵拋物線上有一動點Q，使△ABQ的面積為6，

∴設點Q的縱坐標的絕對值為：=3，

當點Q的縱坐標為3時，則3=x2+2x-3，得x1=-1+，x2=-1-，

當點Q的縱坐標為-3時，則-3=x2+2x-3，得x3=0或x4=-2，

∴點Q的坐標為（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．