【題目】如圖,為⊙的直徑,點(diǎn)在的延長線上,點(diǎn)在⊙上,且.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)已知,,點(diǎn)是的中點(diǎn),,垂足為,交于點(diǎn),求的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)EF=.
【解析】
(1)連接OC,由AB是直徑,可得∠ACB=90°,再由OA=OC,可得∠CAO=∠ACO,證明△PBC∽△PCA,可得∠PCB=∠CAO,繼而可得∠OCP=90°,由此即可得結(jié)論;
(2)連接OD,先求出PA=40,然后求出OA=15,由點(diǎn)是的中點(diǎn),則可得∠FOD=90°,由△PBC∽△PCA,可得,證明△AEF∽△ACB,可得,即AE=2EF,證明△DOF∽△AEF,可得,從而求出OF=,進(jìn)而求出AF=,在Rt△AEF中,利用勾股定理求出EF長即可.
(1)連接OC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵,
∴,
又∵∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCA,
∴∠PCB=∠CAO,
∴∠PCB+∠OCB=90°,即∠OCP=90°,
∴PC是⊙O的切線;
(2)連接OD,
∵,,,
∴PA=40,
∴AB=PA-PC=30,
∴OA=15,
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),AB是直徑,
∴OD=OA=15,DO⊥AB,即∠FOD=90°,
∵△PBC∽△PCA,
∴,
∵∠AEF=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△AEF∽△ACB,
∴,即AE=2EF,
∵∠AEF=∠DOF=90°,∠AFE=∠DFO,
∴△DOF∽△AEF,
∴,
∴OF=OD=,
∴AF=AO-OF=,
在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2,
即()2=(2EF)2+EF2,
∴EF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,BE,點(diǎn)P為DC的中點(diǎn),
(1)(觀察猜想)圖1中,線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)(探究證明)把△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立請證明,否請說明理由;
(3)(拓展延伸)把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出線段AP長度的最大值和最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足 關(guān)系時,仍有EF=BE+FD;請證明你的結(jié)論.
【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于和兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)連接
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)在軸上,且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)…,這樣依次下去,得到,…,其面積分別記為,…,則為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,連接AE、EF、AF,且∠EAF=45°,下列結(jié)論:
①△ABE≌△ADF;
②∠AEB=∠AEF;
③正方形ABCD的周長=2△CEF的周長;
④S△ABE+S△ADF=S△CEF,其中正確的是_____.(只填寫序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,把45°的直三角板的直角頂點(diǎn)E放在邊長為6的正方形ABCD的一邊BC上,直三角板的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,以DE為一邊作矩形DEFG,且GF過點(diǎn)A,得到圖1.
(1)求矩形DEFG的面積;
(2)若把正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,把45°的直三角板的一個45°角的頂點(diǎn)與等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B重合,直三角板夾這個45°角的兩邊分別交CA和CA的延長線于點(diǎn)H、P,得到圖2.猜想:CH、PA、HP之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若把邊長為6的正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,點(diǎn)M是Rt△ABC內(nèi)一個動點(diǎn),連接MA、MB、MC,設(shè)MA+MB+MC=y,直接寫出 的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(﹣2,﹣5),C(5,n),交y軸于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)y1=kx+b的表達(dá)式;
(2)連接OA,OC,求△AOC的面積;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出y1>y2時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某店因?yàn)榻?jīng)營不善欠下38000元的無息貸款的債務(wù),想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金,并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息)已知該店代理的某品牌服裝的進(jìn)價為每件40元,該品牌服裝日的售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的關(guān)系可用圖中的一條折線(實(shí)線)來表示.
(1)求日銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)銷售價為多少元時,該店的日銷售利潤最大;
(3)該店每天支付工資和其它費(fèi)用共250元,該店能否在一年內(nèi)還清所有債務(wù).
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