【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數量關系.
【發(fā)現證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發(fā)現EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足 關系時,仍有EF=BE+FD;請證明你的結論.
【探究應用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結果取整數,參考數據: =1.41, =1.73)
【答案】【發(fā)現證明】證明見解析;【類比引申】∠BAD=2∠EAF;【探究應用】109.2米.
【解析】【發(fā)現證明】根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可.
【類比引申】延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證△ADF≌△ABM,證△FAE≌△MAE,即可得出答案;
【探究應用】利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形,則BE=AB=80米.把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG,根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE,則GF=BE+DF,只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD.
解:如圖(1),
∵△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴BE+DF=EF.
【類比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故答案是:∠BAD=2∠EAF.
【探究應用】如圖3,把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG,連接AF.
∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等邊三角形,
∴BE=AB=80米.
根據旋轉的性質得到:∠ADG=∠B=60°,
又∵∠ADF=120°,
∴∠GDF=180°,即點G在CD的延長線上.
易得,△ADG≌△ABE,
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,
又∵∠EAG=∠BAD=150°,
∴∠GAF=∠FAE,
在△GAF和△FAE中,
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
又∵DG=BE,
∴GF=BE+DF,
∴EF=BE+DF=80+40(﹣1)≈109.2(米),即這條道路EF的長約為109.2米.
“點睛”此題主要考查了四邊形綜合題,關鍵是正確畫出圖形,證明△AFG≌△AEF.此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.
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【題目】把下列各數分別填入相應的集合中:-(-230),,0,-0.99,1.31,5,,3.14246792…,-.
(1)整數集合:{ …}
(2)非正數集合:{ …}
(3)正有理數集合:{ …}
(4)無理數集合:{ …}
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【題目】小張騎自行車勻速從甲地到乙地,在途中因故停留了一段時間后,仍按原速騎行,小李騎摩托車比小張晚出發(fā)一段時間,以800米/分的速度勻速從乙地到甲地,兩人距離乙地的路程y(米)與小張出發(fā)后的時間x(分)之間的函數圖象如圖所示.
(1)求小張騎自行車的速度;
(2)求小張停留后再出發(fā)時y與x之間的函數表達式;
(3)求小張與小李相遇時x的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=2.Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC繞A點逆時針方向旋轉60°得到的,求線段 B′C的長.
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【題目】某超市預測某飲料有發(fā)展前途,用1600元購進一批飲料,面市后果然供不應求,又用6000元購進這批飲料,第二批飲料的數量是第一批的3倍,但單價比第一批貴2元.
(1)第一批飲料進貨單價多少元?
(2)若二次購進飲料按同一價格銷售,兩批全部售完后,獲利不少于1200元,那么銷售單價至少為多少元?
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【題目】如圖,在△AB C中,AB=AC,BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線,EF過D點,且EF∥BC,圖中等腰三角形共有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=120°,P為直線CD上一動點,點M在線段BC上,連MP,設∠MPD=α.
(1)如圖1,若MP⊥CD,則∠BMP=___度;
(2)如圖2,當P點在CD延長線上時,∠BMP=___(用α表示);
(3)如圖3,當P點在DC延長線上時,(2)中結論是否仍成立?請畫出圖形并證明你的判斷.
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【題目】大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程”,計劃對城區(qū)內某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設施進行全面更新改造。該工程乙隊單獨完成所需天數是甲隊單獨完成所需天數的1.5倍 , 若甲隊先做10天,剩下兩隊合作30天完成。
(1)甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天?
(2)已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元,乙對每天的施工費用為5.6萬元,工程施工的預算費用為500萬元,為了縮短工期并高效完成工程,擬預算的費用是否夠用?若不夠用,需追加預算多少萬元?請說明理由。
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