【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O,頂點為A1,1,且與直線y=x2交于B,C兩點.

1求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo);

2求證:ABC是直角三角形;

3若點N為x軸上的一個動點,過點N作MNx軸與拋物線交于點M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點的三角形與ABC相似?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2+2x;C-1,-3;2證明過程見解析;3)(,0,01,05,0

【解析】

試題分析:1可設(shè)頂點式,把原點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點坐標(biāo);2分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,結(jié)合A、B、C三點的坐標(biāo)可求得ABO=CBO=45°,可證得結(jié)論;3設(shè)出N點坐標(biāo),可表示出M點坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)MON和ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得==可求得N點的坐標(biāo).

試題解析:1頂點坐標(biāo)為1,1 設(shè)拋物線解析式為y=ax12+1,

又拋物線過原點, 0=a012+1,解得a=1, 拋物線解析式為y=x12+1, 即y=x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得,解得,

B2,0,C1,3;

2如圖,分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,

則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3, ∴∠ABO=CBO=45°,即ABC=90°, ∴△ABC是直角三角形;

3假設(shè)存在滿足條件的點N,設(shè)Nx,0,則Mx,x2+2x,

ON=|x|,MN=|x2+2x|, 2在RtABD和RtCEB中,可分別求得AB=,BC=3,

MNx軸于點N ∴∠ABC=MNO=90°, 當(dāng)ABC和MNO相似時有==

當(dāng)=時,則有=,即|x||x+2|=|x|,

當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形, x0, |x+2|=,即x+2=±,解得x=或x=

此時N點坐標(biāo)為,0,0;

當(dāng)=時,則有=,即|x||x+2|=3|x|,

|x+2|=3,即x+2=±3,解得x=5或x=1, 此時N點坐標(biāo)為1,05,0

綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為,0,01,05,0

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