Question

【題目】已知射線(xiàn)AP是△ABC的外角平分線(xiàn)，連結(jié)PB、PC．

（1）如圖1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，寫(xiě)出∠APB的度數(shù)．

（2）如圖1，若P與A不重合，求證：AB+AC＜PB+PC．

（3）如圖2，若過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BA，交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，且∠BPC=∠BAC，求：的值．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）見(jiàn)解析；（3）2.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）在射線(xiàn)AD上取一點(diǎn)H，是的AH=AC，連接PH．則△APH≌△APC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
（3）過(guò)P作PN⊥AC于N，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到PM=PN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN，BM=CN，于是得到結(jié)論．

（1）∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠1=∠2+∠APB，

∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠1=DAC，∠2=∠ABC，

∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°，

故答案為：15°；

（2）在射線(xiàn)AD上取一點(diǎn)H，使得AH=AC，連接PH．

∵射線(xiàn)AP是△ABC的外角平分線(xiàn)，∴∠HAP=∠PAC，

則

故△APH≌△APC，

∴PC=PH，

在△BPH中，PB+PH＞BH，

∴PB+PC＞AB+AC．

（3）過(guò)P作PN⊥AC于N，

∵AP平分∠MAN，PM⊥BA，

∴PM=PN，

在Rt△APM與Rt△APN中， ，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），

∴AM=AN，

∵∠BPC=∠BAC，

∴A，B，C，P四點(diǎn)共圓，

∴∠ABP=∠PCN，

在△PMB與△PNC中， ，

∴BM=CN，

∵AM=AN，

∴AC﹣AB=2AM，

∴=2．