Question

AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點P，求證：PQ⊥AB．

Answer 1

分析：利用已知條件連接出輔助線，首先證明E，Q，F(xiàn)，K四點共圓，利用對應半徑相等得出對應角相等，進而證明結論．

解答：證明：延長EP到K，使PK=PE，連KF、AE、EF、BF，直線PQ交AB于H．
因∠EQF=∠AQB=（90°-∠1）+（90°+∠2）=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP，又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK，
故∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180°，
從而E、Q、F、K四點共圓．
由PK=PF=PE知，P為△EFK的外心，
顯然PQ=PE=PF．
于是∠1+∠AQH=∠1+∠PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90°．
由此知QH⊥AH，
即PQ⊥AB．

點評：此題主要考查了切線長定理，圓周角定理的推論四點共圓等有關知識，題目綜合性較強．