Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°

(1)操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)線段是否始終是EF？試寫出觀察結(jié)果．

(2)探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形(即能否有EF²＝AE²＋BF²)？如果能，試加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解析：操作、觀察不是重點(diǎn)，探索、猜測(cè)才是整個(gè)題目的重點(diǎn)，是難點(diǎn)，也就是說，從操作中獲取信息是探索問題的過程中最重要的． 　　(1)中只需在旋轉(zhuǎn)∠ECF的過程中用刻度尺量一量或觀察，即可得到． 　　(2)要判斷EF2＝AE2＋BF2，思路是把AE、EF、FB搬到一個(gè)三角形中，通常用平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，本題目利用翻折的方法較簡(jiǎn)單，使得線段AE、BF相等的線段和EF在出現(xiàn)一個(gè)三角形中． 　　解：(1)觀察結(jié)果是：當(dāng)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在△ABC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)的線段始終是EF． 　　(2)AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下： 　　如圖所示，在∠ECF的內(nèi)部作∠ECG＝∠ACE， 　　使CG＝AC，連結(jié)EG，F(xiàn)G， 　　∴△ACE≌△GCE， 　　∴∠A＝∠1，同理∠B＝∠2， 　　∵∠A＋∠B＝90°， 　　∴∠1＋∠2＝90°， 　　∴∠BGF＝90°，EF為斜邊．