Question

已知：AB是半圓O 的直徑，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合)，以O(shè)C為直徑的半圓M與半圓O交于點(diǎn)D，∠DCB的平分線與半圓M交于點(diǎn)E。

（1）求證：CD是半圓O的切線(圖①)； （2）作EF⊥AB于點(diǎn)F(圖②)，猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加以證明； （3）在上述條件下，過(guò)點(diǎn)E作CB的平行線CD于點(diǎn)N，當(dāng)NA與半圓O相切時(shí)(圖③)，求∠EOC的正切值。

Answer 1

（1）證明：如圖1，連結(jié)OD，則OD為半圓O的半徑                ∵OC為半圓M的直徑               ∴∠CDO=90°              ∴CD是半圓O的切線； （2） 猜想：。     如圖，連結(jié)OD、OE，延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)K，作EG⊥CD于點(diǎn)G，則EG//OD。      ∵CE平分∠DCB ∴∠OCE=∠KCE        ∵EF⊥AB     ∴EG=EF          ∵OC是半圓M的直徑，E為半圓M上的一點(diǎn)         ∴∠CEO=∠CEK=90°           ∵CE為公共邊           ∴△COE≌△CKE         ∴OE=KE     ∵EG//OD        ∴DG=GK  ∴ ； （3）如圖3，延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)K       設(shè)OF=x，EF=y，則OA=2y       ∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圓O于點(diǎn)A      ∴四邊形AFEN是矩形       ∴      同（2），得E是OK的中點(diǎn)       ∴N是CK的中點(diǎn)                ∴Rt△CEF∽R(shí)t△EOF      ∴ 即      解得        ∴tan∠EOC=3

圖1             圖2               圖3