Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn),點(diǎn).

（1）求的度數(shù)；

（2）如圖1，將⊿繞點(diǎn)順時針得⊿，當(dāng)恰好落在邊上時，設(shè)⊿的面積為,⊿的面積為,與有何關(guān)系？為什么？

（3）若將⊿繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置， 與的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷.

Answer 1

【答案】（1）；

（2），理由見解析；

（3）與的關(guān)系沒變,即，理由見解析.

【解析】試題分析：本題的⑴問求的度數(shù)化歸在△來解決，根據(jù)點(diǎn),點(diǎn)容易求出的長度，利用三角函數(shù)的定義計算出三角函數(shù)值，從而求出該角的度數(shù).

本題的⑵問抓住⊿和⊿的邊是同一三角形⊿的邊;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征可以推出,結(jié)合⑴問容易推出三角形⊿是等邊三角形，等邊三角形不但三邊相等，而且三邊上的高也是相等的，我們利用“等底等高的三角形”的結(jié)論容易判斷出.

本題的⑶問也抓住根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征可以推出⊿和⊿的邊；其實(shí)我們只需找到邊上高相等；而邊上的高可以化在兩個三角形中，通過全等三角形可以證得其高相等，再利用“等底等高的三角形”的結(jié)論容易判斷出.（本問也可以用相似形的相關(guān)知識使問題獲得解決.）

試題解析：（1）∵點(diǎn),點(diǎn)

∴

又

∴

∴

（2）.

理由如下：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的征可知： .又

∴⊿是等邊三角形

∴

∴∥軸

∴點(diǎn)到軸的距離相等（圖中）

∵等邊⊿的三條高都相等（圖中）

∴點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到軸的距離（圖中）

∴（等底等高的三角形面積相等）

（3）與的關(guān)系沒變,即.

理由如下：

過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作 于.

∴

根據(jù)題意可知：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的征可知：

∴

∴

∴⊿≌⊿（）

∴

又∵

∴（等底等高的三角形面積相等）