Question

如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，點O在斜邊AB上，半徑為2的⊙O過點B，且切AC邊于點D，交BC邊于點E，

求：（1）弧DE的長； (結(jié)果保留π)

（2）由線段CD，CE及弧DE圍成的陰影部分的面積。(結(jié)果保留π和根號)

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OD、OE，一方面根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角的關(guān)系求得∠AOD=60⁰，另一方面根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得出∠BOE =60⁰，從而求得∠DOE =60⁰，根據(jù)弧長公式即可求得DE弧長；

（2）用梯形OECD和扇形ODE的面積差來求出陰影部分的面積．

試題解析：（1）如圖，連接OD、OE，

∵AC是⊙O的切線，∴OD⊥AC，即∠ADO=90°.

∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA=4，∠AOD=∠B=60⁰.

又∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形. ∴∠BOE =60⁰. ∴∠DOE =60⁰.

∴DE弧長為.

（2）∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA=4. ∴AB=6. ∴BC=3 ，AC=3，AD=2，CD=.

∴．

考點：1. 切線的性質(zhì)；2. 直角三角形兩銳角的關(guān)系；3. 等邊三角形的判定和性質(zhì)；4.扇形弧長和面積公式；3.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.