Question

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB的垂直平分線交AB于E，AC于D，交BC的延長線于F．
求：（1）CD的長；（2）CF的長．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镋F垂直平分AB，可得AD=BD，設(shè)出CD的長，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理解答；
（2）先根據(jù)勾股定理求出DE的長，再求出Rt△FCD與Rt△AED，根據(jù)相似三角形的相似比解答即可．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分線交AB于E，
∴AD=BD，
設(shè)CD=x，
∵AC=4，∴AD=（4-x），即BD=4-x，
又∵BC=3，
∴根據(jù)勾股定理，得BD²=DC²+BC²，
即（4-x）²=x²+3²，
16+x²-8x=x²+9，
-8x=-7，
x=

7

8

．
故CD=

7

8

．

（2）∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，AD=BD，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+32

=5，
∴AE=BE=

AB

2

=2.5，
由（1）知CD=

7

8

，∴AD=4-

7

8

=

25

8

，
∵AD=BD，∴BD=

25

8

，
根據(jù)勾股定理，得DE=

BD2-BE2

=

( 25 8 )2-2.52

=

15

8

，
在Rt△FCD與Rt△AED中，∵∠ADE=∠CDF，
∴Rt△FCD∽Rt△AED，

FC

AE

=

CD

DE

，即

FC

2.5

=

7 8

15 8

，解得，CF=

7

6

．

點(diǎn)評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．