【題目】如圖1,直線交軸于點(diǎn)A,交軸于點(diǎn)C(0,4).拋物線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交軸于點(diǎn)B(0,-2).點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線PD,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D,連接PB,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí),求線段PD的長(zhǎng);
(3)如圖2,將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△BD′P′,且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC,當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)當(dāng)△BPD為等腰直角三角形時(shí),PD的長(zhǎng)為.(3),,.
【解析】
試題分析:(1)先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可;(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,可得P(m,),D(m,-2),若△BPD為等腰直角三角形,則PD=BD.分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方時(shí),PD=,再分點(diǎn)P在y軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況,列方程求解即可;②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的下方時(shí),m>0,BD=m,PD=,列方程求解即可;(3)∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4;∴AC=5,∴sin∠PBP/=,cos∠PBP/=,①當(dāng)點(diǎn)P/落在x軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)D/作D/N⊥x軸于N,交BD于點(diǎn)M,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如圖1,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2;如圖2,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2解得:P(-,)或P(,);②當(dāng)點(diǎn)P/落在y軸上時(shí),
如圖3,過(guò)點(diǎn)D/作D/M⊥x軸交BD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P/作P/N⊥y軸,交MD/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×(m2-m)= m∴P(,)
試題解析:(1)由直線過(guò)點(diǎn)C(0,4),得n=4,∴.
當(dāng)y=0時(shí),,解得x=3,∴A(3,0).
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(0,-2),
∴,解得
∴.
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,∴P(m,),D(m,-2).
若△BPD為等腰直角三角形,則PD=BD.
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方時(shí),PD=,
(I)若點(diǎn)P在y軸的左側(cè),則m<0,BD=-m,
∴,
解得(舍去).
(II)若點(diǎn)P在y軸的右側(cè),則m>0,BD=m,
∴,
解得.
②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的下方時(shí),m>0,BD=m,PD=,
∴,
解得.
綜上m=.
即當(dāng)△BPD為等腰直角三角形時(shí),PD的長(zhǎng)為.
(3),,.
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(2)畫(huà)出△A′B′C′,并寫(xiě)出點(diǎn)C′的坐標(biāo)為__________.
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