Question

【題目】(2016浙江省溫州市第21題)如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．

（1）求證：∠1=∠F．

（2）若sinB=，EF=2，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、3

【解析】

試題分析：(1)、連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點(diǎn)，得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠B等量代換即可得到結(jié)論；(2)、根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC==8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

試題解析：(1)、連接DE， ∵BD是⊙O的直徑， ∴∠DEB=90°， ∵E是AB的中點(diǎn)， ∴DA=DB，

∴∠1=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠1=∠F；

(2)、∵∠1=∠F， ∴AE=EF=2， ∴AB=2AE=4，

在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4， ∴BC==8，

設(shè)CD=x，則AD=BD=8﹣x， ∵AC2+CD2=AD2， 即42+x2=（8﹣x）2， ∴x=3，即CD=3．