Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以2cm/秒和3cm/秒的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)PC＝2QC時(shí)，求t的值.

（2）當(dāng)△PEC與△QFC全等時(shí)，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)或，PC=2CQ;(2)2或.

【解析】

(1)分類(lèi)討論:①當(dāng)點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上時(shí),②當(dāng)點(diǎn)Q在AC上,點(diǎn)P在BC上時(shí),③當(dāng)P、Q都在AC上時(shí),根據(jù)題意列出方程即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)題意化成三種情況,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CP=CQ,代入得出關(guān)于t的方程,求出即可.

(1)①當(dāng)點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上時(shí),

∵AC=6,AP=2t,BC=8,BQ=3t,

∴CP=6-2t,CQ=8-3t,

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(8-3t),

解得:t=

②當(dāng)點(diǎn)Q在AC上,點(diǎn)P在BC上時(shí),不存在PC=2QC

③當(dāng)P、Q都在AC上時(shí),

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(3t-8),

解得:t=

綜上所述: t=或;

(2)①如圖1,P在AC上,Q在BC上,

∵PE⊥l,QF⊥l,

∴∠PEC=∠QFC=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,

∴∠EPC=∠QCF,

則△PCE≌△CQF(AAS),

∴PC=CQ,即6-2t=8-3t,t=2;

②如圖,P在BC上,Q在AC上,

∵由①知:PC=CQ,

∴2t-6=3t-8,t=2;

2t-6＜0,不符合題意;

③當(dāng)P、Q都在AC上時(shí),如圖

CP=6－2t=3t－8,t=;

④當(dāng)Q到A點(diǎn)停止,P在BC上時(shí),AC=PC,2t-6=6時(shí),解得t=6＞(不符合題意)

綜上所述:t的值為2s或s.