我們運(yùn)用圖(I)圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2,也可表示為c2+4×
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ab,即(a+b)2=c2+4×
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ab由此推導(dǎo)出一個重要的結(jié)論a2+b2=c2,這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”.這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法,簡稱“無字證明”.
(1)請你用圖(Ⅱ)(2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c).
(2)請你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合,用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證:(x+y)2=x2+2xy+y2
(3)現(xiàn)有足夠多的邊長為x的小正方形,邊長為y的大正方形以及長為x寬為y的長方形,請你自己設(shè)計(jì)圖形的組合,用其面積表達(dá)式驗(yàn)證:(x+y)(x+2y)=x2+3xy+2y2
(1)大正方形的面積為:c2,中間空白部分正方形面積為:(b-a)2;
四個陰影部分直角三角形面積和為:4×
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ab;
由圖形關(guān)系可知:大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積,即有:
c2=(b-a)2+4×
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ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2;

(2)如圖1所示:大正方形邊長為(x+y)所以面積為:(x+y)2,
它的面積也等于兩個邊長分別為x,y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和,
即x2+2xy+y2
所以有:(x+y)2=x2+2xy+y2成立;

(3)如圖2所示:大矩形的長、寬分別為(x+y),(x+2y),則其面積為:(x+y)•(x+2y),
從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個邊長為x的正方形以及2個邊長為y的正方形和三個小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為:
x2+3xy+2y2,
則有:(x+y)(x+2y)=x2+3xy+2y2
練習(xí)冊系列答案
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