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【題目】瑞士著名數學家歐拉發(fā)現:簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E之間滿足一種有趣的關系:V+FE2,這個關系式被稱為歐拉公式.比如:正二十面體(如右圖),是由20個等邊三角形所組成的正多面體,已知每個頂點處有5條棱,則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點為_____個.那么一個多面體的每個面都是五邊形,每個頂點引出的棱都有3條,它是一個_____面體.

【答案】12 12

【解析】

①設出正二十面體的頂點為n個,則棱有.利用歐拉公式構建方程即可解決問題.②設頂點數V、棱數E、面數F、每個點都屬于三個面,每條邊都屬于兩個面,利用歐拉公式構建方程即可解決問題.

解:設出正二十面體的頂點為n個,則棱有條.

由題意F20,

n+102,

解得n12

設頂點數V,棱數E,面數F,每個點屬于三個面,每條邊屬于兩個面

由每個面都是五邊形,則就有E,V

由歐拉公式:F+VE2,代入:

F+2

化簡整理:F12

所以:E30,V20

即多面體是12面體.棱數是30,面數是12

故答案為12,12.

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