Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上．
探究：（1）如圖1，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等，請(qǐng)給出證明，如果不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，請(qǐng)你判斷△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫(xiě)出結(jié)果，如果相似，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)果和相應(yīng)的相似比；
（3）如圖2，請(qǐng)你探索，當(dāng)點(diǎn)B落在CD邊上何處，即B₁C的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△FCB₁與△B₁DG全等．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折疊的性質(zhì)可得：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，然后利用同角的余角相等，可證得∠A₁DE=∠CDF，則可利用ASA證得△EDA₁和△FDC全等；
（2）易得△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁與△B₁DG相似，然后設(shè)FC=x，由勾股定理可得方程x²+1²=（3-x）²，解此方程即可求得答案；
（3）設(shè)B₁C=a，則有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）全等．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由題意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，
∴∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A₁DE=∠CDF，
在△EDA₁和△FDC中，
，
∴△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁與△B₁DG相似，
設(shè)FC=x，
則B₁F=BF=3-x，B₁C=DC=1，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴x=，
∴△FCB₁與△B₁DG相似，相似比為4：3．

（3）△FCB₁與△B₁DG全等．
設(shè)B₁C=a，則有FC=B₁D=2-a，B₁F=BF=1+a，
在直角△FCB₁中，可得（1+a）²=（2-a）²+a²，
整理得a²-6a+3=0，
解得：a=3-（另一解舍去），
∴當(dāng)B₁C=3-時(shí)，△FCB₁與△B₁DG全等．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．