Question

已知一次函數(shù)y₁=x，二次函數(shù)y₂=

1

2

x²+

1

2

（1）根據(jù)表中給出的x的值，填寫(xiě)表中空白處的值；

（2）觀察上述表格中的數(shù)據(jù)，對(duì)于x的同一個(gè)值，判斷y₁和y₂的大小關(guān)系．并證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁和y₂的大小關(guān)系仍然成立；
（3）若把y=x換成與它平行的直線y=x+k（k為任意非零實(shí)數(shù)），請(qǐng)進(jìn)一步探索：當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，（2）中的結(jié)論仍然成立？當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，（2）中的結(jié)論不能對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立？并確定使（2）中的結(jié)論不成立的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）把x的值代入二次函數(shù)解析式，可直接求出對(duì)應(yīng)的y的值．
（2）通過(guò)觀察表中的數(shù)據(jù)，可得，y₁≤y₂，用y₂-y₁所得的式子進(jìn)行分析，因?yàn)榈扔?span id="qcco82m" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

（x-1）²，不論x取何值，都有

1

2

（x-1）²≥0，故有y₂-y₁≥0，即y₂≥y₁．
（3）解兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式進(jìn)行分析，（△=8k），當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象的下方，那么就有y₂≥y₁，而當(dāng)k＞0，時(shí)，二次函數(shù)的圖象有一部分在一次函數(shù)圖象的上方，一部分在下方，故這種情況不能使（2）中的結(jié)論成立．

解答：解：（1）x=-3時(shí)，y₂=5；
x=-2時(shí)，y₂=

5

2

；
x=2時(shí)，y₂=

5

2

；
x=3時(shí)，y₂=5．

（2）y₁≤y₂
∵y₂-y₁=（

1

2

x²+

1

2

）-x=

1

2

（x-1）²
又∵x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有（x-1）²≥0，
∴y₂≥y₁對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立．

（3）由

y=x+k y= 1 2 x2+ 1 2

，
得

1

2

x²+

1

2

=x+k，
即x²-2x+1-2k=0 ①
方程①的判別式△=4-4（1-2k）=8k，（k≠0）
①當(dāng)k＜0時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)根，
即直線y=x+k與拋物線無(wú)交點(diǎn)，且直線在拋物線的下方，此時(shí)（2）中的結(jié)論仍然成立．
②當(dāng)k＞0時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：x₁=1-

2

k，x₂=1+

2k

，
即直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)拋物線上有一部分點(diǎn)在直線的下方，
所以（2）中的結(jié)論不能對(duì)任意的x都成立．
當(dāng)1-

2

k＜1+

2k

時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了任何一個(gè)數(shù)的平方都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，解方程組，一元二次方程根的判別式等知識(shí)．