Question

已知△ABC中，AB＝AC＝6，cosB＝，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC，另有交點(diǎn)D、E，但⊙O與邊AC不相交，又EF⊥AC，垂足為F．設(shè)OB＝x，CF＝y(tǒng)．

(1)求證：直線EF是⊙O的切線；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

(3)當(dāng)直線DF與⊙O相切時(shí)，求OB的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結(jié)OE，那么OE＝OB， 　　得∠OBE＝∠OEB． 　　∵AB＝AC，∴∠OBE＝∠C． 　　∴∠OEB＝∠C，得OE∥AC． 　　∵EF⊥AC，∴EF⊥OE． 　　∵點(diǎn)E在圓O上， 　　∴EF是圓O的切線． 　　(2)作AH⊥BC，H為垂足， 　　那么BH＝BC． 　　∵AB＝6，cosB＝， 　　∴BH＝2，BC＝4． 　　∵OE∥AC， 　　∴＝，即＝，得BE＝x， 　　∴EC＝4－x． 　　在直角三角形ECF中，cosC＝cosB＝ 　　∴CF＝EC·cosC＝(4－x)· 　　∴所求函數(shù)解析式y(tǒng)＝－x 　　自變量x的取值范圍為0＜x≤． 　　(3)畫(huà)出示意圖． 　　解法一：連結(jié)OE、DE、OF． 　　由DF與圓O相切，∴FD＝FE． 　　又OD＝OE， 　　∴OF垂直(平分)DE． 　　由∠DEB＝90°， 　　∴BC⊥DE．∴OF∥BC． 　　這時(shí)，OB＝CF， 　　得－x＝x， 　　解得x＝，即OB＝．