【題目】已知△ABC是等邊三角形,DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與BC重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過點(diǎn)FBC的平行線交射線AC于點(diǎn)E,連接BF

1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;

2)請(qǐng)判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;

3)若D點(diǎn)在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請(qǐng)問(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析;(2BCEF是平行四邊形;(3)成立

【解析】試題分析:(1)利用有兩條邊對(duì)應(yīng)相等并且夾角相等的兩個(gè)三角形全等即可證明△AFB≌△ADC;

2)四邊形BCEF是平行四邊形,因?yàn)?/span>△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,進(jìn)而證明∠ABF=∠BAC,則可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四邊形BCEF是平行四邊形;

3)易證AF=ADAB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可證明△AFB≌△ADC;根據(jù)△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,進(jìn)而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,從而證得四邊形BCEF是平行四邊形.

證明:(1∵△ABC△ADF都是等邊三角形,

∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,

∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,

∴∠FAB=∠DAC

△AFB△ADC中,

,

∴△AFB≌△ADCSAS);

2)由△AFB≌△ADC,

∴∠ABF=∠C=60°

∵∠BAC=∠C=60°,

∴∠ABF=∠BAC

∴FB∥AC,

∵BC∥EF,

四邊形BCEF是平行四邊形;

3)成立,理由如下:

∵△ABC△ADE都是等邊三角形,

∴AF=AD,AB=AC∠FAD=∠BAC=60°,

∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD

∴∠FAB=∠DAC,

△AFB△ADC中,

,

∴△AFB≌△ADCSAS);

∴∠AFB=∠ADC

∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,

∴∠ADC=∠EAF

∴∠AFB=∠EAF,

∴BF∥AE

∵BC∥EF,

四邊形BCEF是平行四邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),求證:①BD⊥CF②CF=BC﹣CD

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),其它條件不變,請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系;

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí),且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:請(qǐng)直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系.若連接正方形對(duì)角線AE、DF,交點(diǎn)為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.

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