Question

如圖①，點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC于E、F，若AB=CD．
（1）圖①中有______對全等三角形，并把它們寫出來______；
（2）BD與EF互相平分嗎？請說明理由；
（3）若將△ABF向AC方向平移變?yōu)閳D②時，其余條件不變，第（2）題結論是否還成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=∠BFG=∠DEG=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴∠A=∠C，BF=DE，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDG，
在△ABG和△CDG中，
，
∴△ABG≌△CDG（AAS），
在△BFG和△DGE中，
，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴共3對全等三角形；
分別是：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BGF≌△DGE，
故答案為：3；△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BGF≌△DGE．

（2）BD與EF互相平分．
理由：∵△BGF≌△DGE，
∴BG=DG，F(xiàn)G=EG，
∴BD與EF互相平分，

（3）結論還成立；
理由：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=∠BFG=∠DEG=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE，
在△BFG和△DGE中，
，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴EG=FG，BG=DG，
∴BD與EF互相平分，即結論成立．
分析：（1）由已知AE=CF，可推出AF=CE，再DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，所以得△ABF≌△CDE，從而得∠A=∠C，則∠ABG=∠CDG，所以△ABG≌△CDG，由△ABF≌△CDE得BF=DE，再DE⊥AC，BF⊥AC，所以得△BGF≌△DGE，共3對全等三角形；
（2）首先由題意推出BF∥DE，AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，推出△BFA≌△DEC，可得BF=DE，從而證得△BFG≌△DEG，即可推出BD與EF互相平分．
（3）AE=CF，可得：AF=CE，再由DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，推出Rt△BFA和Rt△DEC全等，根據(jù)全等三角形的性質，即可推出BF=DE，然后通過求證△BFG和△DEG全等，即可推出結論．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．