Question

（2013•松江區(qū)模擬）已知：點(diǎn)A、B都在半徑為9的圓O上，P是射線OA上一點(diǎn)，以PB為半徑的圓P與圓O相交的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線OB與圓P相交的另一個(gè)交點(diǎn)為D，cos∠AOB=

2

3

（1）求：公共弦BC的長(zhǎng)度；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP=x，BD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）如果直線PD與射線CB相交于點(diǎn)E，且△BDE與△BPE相似，求線段AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先求出OP⊥BC，且BH=CH，再根據(jù)OB=9，cos∠AOB=

2

3

，求出OH，BH=3

5

，即可求出BC；
（2）作PM⊥BD，垂足為點(diǎn)M．得BM=DM=

1

2

y，根據(jù)cos∠AOB=

OM

OP

=

2

3

，得出

1 2 y+9

x+9

=

2

3

，通過(guò)計(jì)算得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4

3

x-6，定義域?yàn)閤＞

9

2

．
（3）（i）當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)△BDE與△BPE相似，∠DBE=∠BPE，根據(jù)∠DBE=∠OBH，得出∠OPM=∠OBH，∠BPE=∠OPM，而∠BPM=∠DPM，則∠OPB=∠BPM=∠DPM，BM=BH，即BD=BC，再列出方程

4

3

x-6=6

5

，解得x=

9

2

5

+

9

2

，即可得出AP=

9

2

5

+

9

2

；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，作PN⊥BD，垂足為點(diǎn)N．根據(jù)△BDE與△BPE相似，得出∠BDE=∠PBE，根據(jù)∠BDP=∠DBP．得出∠PBE=∠DBP，PH=PN，BD=BC．，再根據(jù)BN=DN，ON=9-

1

2

BD，得出cos∠AOB=

9- 1 2 DB

9-AP

=

2

3

，整理，得BD=

4

3

AP+6，

4

3

AP+6=6

5

，解得AP=

9

2

5

-

9

2

．

解答：解：（1）∵圓O與圓P相交于點(diǎn)B、C，
∴OP⊥BC，垂足為點(diǎn)H，且BH=CH，
∵OB=9，cos∠AOB=

2

3

=

OH

OB

，
∴OH=6，
∴BH=3

5

，
∴BC=6

5

；

（2）如圖1，作PM⊥BD，垂足為點(diǎn)M．
由垂徑定理，得BM=DM=

1

2

y，
∴cos∠AOB=

OM

OP

=

2

3

，即

1 2 y+9

x+9

=

2

3

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

4

3

x-6，
定義域?yàn)閤＞

9

2

．

（3）（i）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
則△DBE∽△BPE，
∴∠DBE=∠BPE，
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
∴∠BPE=∠OPM，
而∠BPM=∠DPM，
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
∴BM=BH，即BD=BC，
∴

4

3

x-6=6

5

，
解得x=

9

2

5

+

9

2

，即AP=

9

2

5

+

9

2

；
（ii）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，
作PN⊥BD，垂足為點(diǎn)N．
則△BDE∽△PBE，
∴∠BDE=∠PBE，
∵PD=PB，
∴∠BDP=∠DBP．
∴∠PBE=∠DBP．
∴PH=PN．
∴BD=BC． 
∵BN=DN，∴ON=9-

1

2

BD，
∴cos∠AOB=

9- 1 2 DB

9-AP

=

2

3

，
整理，得BD=

4

3

AP+6，
∴

4

3

AP+6=6

5

，
解得AP=

9

2

5

-

9

2

，
綜上所述，線段AP的長(zhǎng)為

9

2

5

+

9

2

或

9

2

5

-

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、垂經(jīng)定理、圓的有關(guān)性質(zhì)等，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，根據(jù)已知條件列出方程．