Question

（2008•無(wú)錫）已知：如圖，邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)有一邊長(zhǎng)為b的內(nèi)接正△DEF，則△AEF的內(nèi)切圓半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求△AEF的內(nèi)切圓半徑，可以畫出圖形，然后利用題中已知條件，挖掘隱含條件求解．
解答：解：如圖（1），⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，由切線長(zhǎng)定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
AD=AE=[（AB+AC）-（BD+CE）]=[（AB+AC）-（BF+CF）]=（AB+AC-BC）．
在圖（2）中，由于△ABC，△DEF都為正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
∴△AEF≌△CFD；
同理可證：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
設(shè)M是△AEF的內(nèi)心，MH⊥AE于H，
則AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；
∵M(jìn)A平分∠BAC，
∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°=（a-b）=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，題目來(lái)源于課本例題．