Question

（2012•北塘區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)M重合）．點(diǎn)Q在上半圓上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ=PO，過點(diǎn)Q作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)∠QPA=90°時(shí)，判斷△QCP是______三角形；
（2）當(dāng)∠QPA=60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
（3）由（1）、（2）得出的結(jié)論，進(jìn)一步猜想，當(dāng)點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí)，△QCP一定是______三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)∠QPA=90°時(shí)，由于∠QPO=∠QPA=90°，PQ=PO，則△OPQ是等腰直角三角形，∴∠QOA=45°．又由于OQ⊥CQ，所以∠C=45°，即△PQC是等腰直角三角形；
（2）由等邊對(duì)等角和三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系知，∠C=90°-∠QOC=90°-30°=60°，故△QCP是等邊三角形；
（3）由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP，∠C=90°-∠QOC，而∠QOC=∠OQP，∴∠C=∠PQC．故△QCP一定是等腰三角形．
解答：解：（1）等腰直角三角形；

（2）當(dāng)∠QPA=60°，△QCP是等邊三角形．
證明：連接OQ．
CQ是⊙O的切線，
∴∠OQC=90°．
∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠QOP．
∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°，
∴∠QCO=∠CQP．
∴PQ=PC．
又∠QPA=60°，
∴△QCP是等邊三角形；

（3）等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，等腰直角三角形和等邊三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)求解．