Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：交y軸于點A(0，1)，交x軸于點B．直線x=1交AB于點D，交x軸于點E，P是直線x=1上一動點，且在點D的上方，設P(1，n)．

(1)求直線AB的解析式和點B的坐標；

(2)求△ABP的面積(用含n的代數式表示)；

(3)當S△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1) AB的解析式是y=-x+1．點B（3，0）．(2)n-1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

試題（1）把A的坐標代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐標；

（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；

（3）當S△ABP=2時，n-1=2，解得n=2，則∠OBP=45°，然后分A、B、P分別是直角頂點求解．

試題解析：（1）∵y=-x+b經過A（0，1），

∴b=1，

∴直線AB的解析式是y=-x+1．

當y=0時，0=-x+1，解得x=3，

∴點B（3，0）．

（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時，y=-x+1=，P在點D的上方，

∴PD=n-，S△APD=PDAM=×1×(n-)=n-

由點B（3，0），可知點B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，

∴S△BPD=PD×2=n-，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1；

（3）當S△ABP=2時，n-1=2，解得n=2，

∴點P（1，2）．

∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，過點C作CN⊥直線x=1于點N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°．

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）．

第2種情況，如圖2∠PBC=90°，BP=BC，

過點C作CF⊥x軸于點F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）．

第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=EB，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

在△PCB和△PEB中，

∴△PCB≌△PEB（SAS），

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點C的坐標是（3，4）或（5，2）或（3，2）．