Question

如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，4），作BA⊥x軸于點(diǎn)A，作BC⊥y軸于點(diǎn)C，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，分別連接OE、CF，OE與CF交于點(diǎn)M，連接AM．
（1）求反比例函數(shù)的函數(shù)解析式及點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）你認(rèn)為線段OE與CF有何位置關(guān)系？請說明你的理由．
（3）求證：AM=AO．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCO，B（4，4），E為BC中點(diǎn)，
∴OA=AB=BC=OC=4，CE=BE=2，F(xiàn)的橫坐標(biāo)是4，
∴E的坐標(biāo)是（2，4），
把E的坐標(biāo)代入y=得：k=8，
∴y=，
∵F在雙曲線上，
∴把F的橫坐標(biāo)是4代入得：y=2，
∴F（4，2），
答：反比例函數(shù)的函數(shù)解析式是y=，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，2）．

（2）線段OE與CF的位置關(guān)系是OE⊥CF，
理由是：∵E的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，2），
∴AF=4-2=2=CE，
∵正方形OABC，
∴OC=BC，∠B=∠BCO=90°，
∵在△OCE和△CBF中
，
∴△OCE≌△CBF，
∴∠COE=∠BCF，
∵∠BCO=90°，
∴∠COE+∠CEO=90°，
∴∠BCF+∠CEO=90°，
∴∠CME=180°-90°=90°，
即OE⊥CF．

（3）證明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=2，
過M作MN⊥OC于N，
∵OE⊥CF，
∴∠CMO=∠OCE=90°，
∵∠COE=∠COE，
∴△CMO∽△ECO，
∴==，
即==，
解得：CM=，OM=，
在△CMO中，由三角形的面積公式得：×OC×MN=×CM×OM，
即4MN=×，
解得：MN=，
在△OMN中，由勾股定理得：ON==，
即M（，），
∵A（4，0），
∴由勾股定理得：AM=4=AO，
即AM=AO．
分析：（1）求出E的坐標(biāo)，求出反比例函數(shù)的解析式，把x=4代入即可求出F的坐標(biāo)；
（2）證△OCE≌△CBF，推出∠COE=∠BCF，求出∠ECF+∠CEO=90°即可；
（3）過M作MN⊥OC于N，證△CMO和△ECO相似，求出CM、OM，根據(jù)三角形的面積公式求出MN，根據(jù)勾股定理求出ON，得出M的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AM的值即可．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的運(yùn)用，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．