Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P（x1，y1）與P2（x2，y2）的“最佳距離”，給出如下定義：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“最佳距離”為|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“最佳距離”為|y1﹣y2|；

例如：點(diǎn)P1（1，2），點(diǎn)P2（3，5），因?yàn)?/span>|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“最佳距離”為|2﹣5|＝3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（過(guò)點(diǎn)P1平行于x軸的直線與過(guò)點(diǎn)P2垂直于x軸的直線交于點(diǎn)Q）．

（1）已知點(diǎn)A（﹣，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“最佳距離”為3，寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“最佳距離”的最小值；

（2）如圖2，已知點(diǎn)C是直線y＝x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“最佳距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），（0，﹣3），；（2）.

【解析】

(1) ①點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為，“最佳距離”為3，因此可以A、B縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為3，從而求出B點(diǎn)坐標(biāo)的兩種情況；

②根據(jù)題意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|，求出“最佳距離”的最小值為

（2）設(shè)點(diǎn)C（m，m+3），且點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），當(dāng)|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“最佳距離”有最小值，從而求出C點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）①∵點(diǎn)B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）

∵|﹣﹣0|＝≠3

∴|0﹣y|＝3

∴y＝±3

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），（0，﹣3）

②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y），

根據(jù)題意得：|﹣﹣0|≥|0﹣y|

∴|y﹣0|≤

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“最佳距離”的最小值為

（2）∵點(diǎn)C是直線y＝x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)C（m，m+3），且點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），

∴當(dāng)|m﹣0|＝|m+3﹣1|＝|m+2|時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“最佳距離”有最小值，

當(dāng)m≤﹣時(shí)，﹣m＝﹣m﹣2

解得：m＝10（不合題意舍去）

當(dāng)﹣＜m＜0時(shí)，﹣m＝m+2

解得：m＝﹣

當(dāng)m＞0時(shí)，m＝m+2

解得：m＝10

∴|m|＝10或

∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“最佳距離”的最小值為，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣，）