Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；
（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△MON的面積為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S=4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）求出x=0時(shí)y的值，求出y=0時(shí)x的值，求出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BC、AC，求出BA，即可得出答案；
（2）①過(guò)N作NH⊥x軸于H，推出當(dāng)t=5秒時(shí)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式得出△MON的面積是S=

1

2

×OM×NH，代入求出即可；
②根據(jù)題意得出|t-2|×0.4t=4，根據(jù)t-2＞0，得出方程（t-2）×0.4t=4，求出方程的解即可；
③求出cos∠B=0.6，分為三種情況：I、當(dāng)∠NOM=90°時(shí)，N在y軸上，求出t=5；II、當(dāng)∠NMO=90°時(shí)，得出t-2=3-0.6t，求出t，III、∠MNO不可能是90°，即可得出答案．

解答：（1）證明：y=-

4

3

x+4，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=4；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴B（3，0），C（0，4），
∵A（-2，0），
由勾股定理得：BC=

32+42

=5，
∵AB=3-（-2）=5，
∴AB=BC=5，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，
∴sin∠B=

OC

BC

=

4

5

=0.8．
過(guò)N作NH⊥x軸于H．
∵點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
又∵AB=BC=5，
∴當(dāng)t=5秒時(shí)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，
∴△MON的面積是S=

1

2

×OM×NH，
∴S=

1

2

|t-2|×0.8t，
∴S=|t-2|×0.4t；

②點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S=4的情形．理由如下：
∵C（0，4），B（3，0），BA=5，
∴sin∠B=

OC

BC

=

4

5

=0.8，
根據(jù)題意得：∵S=4，
∴|t-2|×0.4t=4，
∵點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)，OA=2，
∴t-2＞0，
即（t-2）×0.4t=4，
即t²-2t-10=0，
解得：t=1+

11

，t=1-

11

（舍去），
∴點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S=4的情形，此時(shí)對(duì)應(yīng)的t值是（1+

11

）秒．

③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，
∴cos∠B=

OB

BC

=

3

5

=0.6．
分為三種情況：
I、當(dāng)∠NOM=90°時(shí)，N在y軸上，即此時(shí)t=5；
II、當(dāng)∠NMO=90°時(shí)，M、N的橫坐標(biāo)相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，
III、∠MNO不可能是90°，
即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，t的值是5秒或3.125秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用了方程思想，注意要進(jìn)行分類討論．