Question

（2009•金山區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作CA⊥AB，CA=，并且作CD⊥x軸．
（1）求證：△ADC∽△BOA；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．
①求拋物線的解析式；
②該拋物線的頂點(diǎn)為P，M是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)，若直線PM與y軸的夾角為30°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)互余關(guān)系易得∠C=∠BAO，又有∠CDO=∠AOB=90°，易得△ADC∽△BOA；
（2）①由題意得，A、B的坐標(biāo)，結(jié)合（1）的結(jié)論，得到AD、CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得拋物線的解析式；
②根據(jù)P的坐標(biāo)及三角函數(shù)的意義，易得點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵CD⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠BAO+∠CAD=90°
∵CD⊥x軸
∴∠CDA=90°
∴∠C+∠CAD=90°
∴∠C=∠BAO
又∵∠CDO=∠AOB=90°
∴△ADC∽△BOA；

（2）①由題意得，A（-8，0），B（0，4）
∴OA=8，OB=4，AB=
∵△ADC∽△BOA，CA=
∴AD=2，CD=4
∴C（-10，4）
將B（0，4），C（-10，4）代入y=-x²+bx+c
∴．
∴y=-x²-10x+4
②M₁（0，），M₂（0，），M₃（，0），M₄（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．