Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P(0，2)任作一條與拋物線y＝ax2(a＞0)交于兩點(diǎn)的直線，設(shè)交點(diǎn)分別為A，B，若∠AOB＝． (1) 判斷A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是否為一個確定的值，并說明理由 (2) 確定拋物線y＝ax2(a＞0)的解析式 (3) 當(dāng)△AOB的面積為時，求直線AB的解析式

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積是一個確定的值．理由如下： 設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋2，由得ax2－kx－2＝0．③ 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，則x1，x2為方程③的兩個實(shí)數(shù)根．所以x1＋x2＝，x1·x2＝－，所以y1·y2＝·＝a2·(x1·x2)＝a2·＝4，所以A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積為常數(shù)4，是一個確定的值． 　　解題指導(dǎo)：將A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)其特點(diǎn)判斷
(2)	解法1：作AM⊥x軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N(如圖)． 因?yàn)椤螦OB＝，所以∠AOM＋∠BON＝．又因?yàn)椤螼BN＋∠BON＝，所以∠AOM＝∠OBN，所以Rt△AOM∽Rt△OBN，所以＝(注：寫為＝(同樣正確)，所以＝，所以－x1·x2＝y(tǒng)1·y2，所以－＝4，a＝，所以所求拋物線的解析式為y＝x2． 　　解法2：當(dāng)直線AB平行于x軸時(如圖)，由拋物線的對稱性可知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱． 因?yàn)椤螦OB＝，所以△AOB為等腰直角三角形，所以AP＝PB＝OP＝2，所以B(2，2)．將x＝2，y＝2代入y＝ax2，得a＝，所以所求拋物線的解析式為y＝x2． 　　解題指導(dǎo)：利用相似三角形對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)，并將各點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，即可解出a的值．
(3)	解：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥y軸于點(diǎn)F(如圖)． 　　設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋2，所以AE＝MO，F(xiàn)B＝ON．因?yàn)镾△AOB＝S△AOP＋S△BOP＝OP．AE＋OP·FB＝×2×(－x1＋x2)＝x2－x1＝＝＝＝2．又因?yàn)镾△AOB＝4，所以＝2．由算術(shù)平方根的慨念，可得k2＝4，k＝±2．所以直線AB的解析式為y＝2x＋2或y＝－2x＋2． 　　解題指導(dǎo)：將△AOB的面積用直線AB的斜率表示出來，再根據(jù)△AOB的面積為4求解出斜率即可．