Question

如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．過點D作DC的垂線，分別交AE、AB于點M、N．
（1）若M為AG中點，且DM=2，求DE的長；
（2）求證：AB=CF+DM．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）由?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC，易證得∠DMG=∠DGM，求得DG=DM=2，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，求得AG的長，繼而求得DE的長；
（2）過點A作AD的垂線交DN的延長線于點H，先證DC=DN，AH=CF，再證AH=MH得證．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵∠DAE=∠DEA，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M為AG中點，
∴AG=2DM=4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，
即∠DMG=∠DGM，
∴DG=DM=2，
在Rt△ADG中，DE=AD=

AG2-DG2

=2

3

；

（2）證明：過點A作AD的垂線交DN的延長線于點H，
在△ADH和△FDC中，

∠ADH=∠FDC AD=FD ∠DAH=∠DFC=90°

，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH=FC，DH=DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM=∠DGM，
∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，
∴∠HAM=∠HMA，
∴AH=MH，
∴MH=CF，
∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．