Question

如圖所示，在?ABCD中，AC⊥BC，AC=BC=2，動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C移動，過點P分別作PM∥AB，PN∥AD，連結AM，設AP=x，△AMP的面積為y．
（1）四邊形PMCN是不是菱形，請說明理由．
（2）寫出y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）首先得出四邊形PMCN是平行四邊形，進而利用直角三角形的性質得出PM＞MC，即可得出四邊形PMCN不可能是菱形；
（2）利用CA=CB=2，∠ACB=90°，得出∠CAB=∠CBA=45°，進而求出CP=CM，則AP=BM=x，MC=BC-BM=2-x，再利用三角形面積求法得出y與x之間的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）四邊形PMCN不可能是菱形，
理由：∵PM∥AB，
∴PM∥CN，
同理可得：PN∥MC，
∴四邊形PMCN是平行四邊形，
∵AC⊥BC，
∴△PCM為直角三角形，
∴PM＞MC，
∴四邊形PMCN不可能是菱形；

（2）在△ACB中，
∵CA=CB=2，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∵PM∥AB，
∴∠CPM=∠CMP=45°，
∴CP=CM，
∴AP=BM=x，
∴MC=BC-BM=2-x，
S_△AMP=

1

2

AP×MC=

1

2

x×（2-x），
∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y=-

1

2

x²+x．

點評：此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質和三角形面積求法和等腰三角形的性質等知識，得出AP=BM是解題關鍵．