Question

在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN

①試說(shuō)明：；
②若∠ABC=60°，AM=4，求點(diǎn)M到AD的距離．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（6≤x≤12）．試問(wèn)：x為何值時(shí)，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

(1)①見解析；②；（2）x為6或18-或12時(shí)，△ADN為等腰三角形．

試題分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=AD，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“邊角邊”證明；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形的正方形判斷出四邊形ABCD是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)點(diǎn)M與點(diǎn)B、C重合時(shí)△ADN是等腰三角形；AN=AD時(shí)，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．
試題解析：
（1）證明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SAS）；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，AN=DN，△ADN為等腰三角形，
當(dāng)x=12時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，AD=DN，△ADN為等腰三角形，
當(dāng)AN=AD時(shí)，在Rt△ACD中，，
CN=AC-AN=，
∵正方形ABCD的邊BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴，
即，
解得CM=，
∴BM=BC-AM=6-（）=12- ，
x=AB+BM=6+12- =18- ，
綜上所述，x為6或18-或12時(shí)，△ADN為等腰三角形．