【題目】如圖,直線y2x2x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,把AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B的拋物線y=-x2bxc與直線BC交于點(diǎn)D(3,-4)

1)求直線BD和拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;

2)在拋物線對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P的坐標(biāo),使ABP的周長(zhǎng)最。

3)在第一象限內(nèi)的拋物線上,是否存在一點(diǎn)M,作MN垂直于x軸,垂足為點(diǎn)N,使得以M,ON為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=-2x2,y=-x2x2;(2)();(3)存在,M(1,2).

【解析】試題分析:(1)利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),求出拋物線的解析式,利用翻折得出點(diǎn)C的坐標(biāo),就可求出直線BD的解析式;(2)本題利用路徑最短的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題;(3)由(1)的解析式設(shè)M(a,-a2+a+2),當(dāng)△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時(shí),由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

試題解析:(1)易得A(10),B(0,2),C(1,0)

設(shè)直線BD對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為ykxm.

B(0,2),C(1,0)的坐標(biāo)分別代入ykxm

解得

直線BD對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-2x2.

拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2bxc.

B(0,2),D(3,-4)的坐標(biāo)分別代入y=-x2bxc

解得

拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2x2.

(2)對(duì)稱軸為:點(diǎn)A(-1,0)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E2.0,連接BE交對(duì)稱軸與點(diǎn)P,BE的解析式為:y=-x2 ,當(dāng)x=時(shí),BE對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是P().

(3)存在,如圖,當(dāng)MON∽△BCO時(shí),,即MN2ON.設(shè)ONa,則M(a,2a),a2a22a,解得a1=-2(不合題意,舍去),a21,M(12);如圖,當(dāng)MON∽△CBO時(shí),,即,MNON.設(shè)ONn,則M,n2n2,解得n1 (不合題意,舍去),n2,M(,)存在這樣的點(diǎn)M(1,2).

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(1)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表分析,寫(xiě)出(x,y)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

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